안녕하세요 푸키입니다.
이번 글에서는 기울기 벡터와 이중 적분에 대해 이야기해보겠습니다.
이 부분은 cheng의 전자기학과 미분적분학 8판 책을 참고했습니다. 저희 학부 기준 1학년 2학기에 배우는 기초 내용인데, 전자기학을 공부할 때 첫장에서도 똑같이 복기하면서 공부하게 됩니다. 공간을 해석하기 위해서 필수로 알아야하는 내용이라, 이 부분에서 정확하게 집고 넘어가지 않으면 추후 많이 어렵게 됩니다. 편미분을 안다는 가정 하에 진행하겠습니다.
1. 기울기 벡터
이변수 함수에서 ( z=f(x,y) 와 같이 두 변수로 이루어진 함수 ) 기울기 벡터는 다음과 같이 정의합니다.
이때 이변수 함수란 값이 x, y 두가지 변수에 의해 결정되는 함수 를 뜻합니다.
기울기 Gradient는 벡터의 회전, 벡터의 발산에 있어서 중요한 역할을 합니다.
위 식처럼 벡터로 결과값이 나온다는 사실 또한 잊지말아야 합니다.
기울기 벡터는 곡면( k=f(x,y,z) )이 주어질 때 곡선위에서 한 점에서의 접평면의 법선벡터가 되기도 하고, 접선의 방정식에도 사용됩니다. 지금은 간단하게 어떻게 계산하는 지만 알아둡시다.
2. 이중적분
발그림 죄송합니다 다음과 같은 영역이 있습니다. 그동안 저희가 자주 사용했던 적분은 f(x)로만 구성됐던 적분일 것입니다. 우리는 그동안 x의 영역 a부터 b까지 n만큼 쪼갠 후 f(x)와 곱해 직사각형 형태를 구했습니다. 그리고 전부 합해서 직사각형들의 합으로 만들어진 모양을 얻었죠. 그 이후 오차를 줄이기 위해 n을 무한대로 보내 그 사이 x의 간격을 아주 촘촘하게 바꿨습니다. 그 결과 a부터 b 까지의 적분을 얻을 수 있었습니다.
이중적분의 경우도 크게 다르지 않습니다. 다음 a부터 b까지 c부터 d까지 둘러쌓인 영역을 D라고 해보겠습니다.
이를 잘라본다면 아래와 같은 그림이 될 것입니다.
직사각형이 X 라고 써져있는 것처럼 다음과 같이 직사각형의 모양이 아닌 부분이 존재합니다. 이는, 아까 적분할때 직사각형의 모양에서 오차가 발생한 것과 같습니다. 그럼 어떻게 해야할까요?
이또한, 극한으로 보내주면 됩니다.
다음과 같이 m, n 은 등분 수이며 delta A는 delata x * delata y 입니다.
이를 다음과 같이 표현할 수 있게 됩니다.
dy dx의 차이는 뭘까요?
적분 순서의 차이입니다. dydx의 경우 y의 범위부터 dxdy의 경우 x의 범위부터 계산합니다. 예제를 통해서 보겠습니다.
예제)
이와 같은 문제는 어떻게 풀까요? 적분 안에 있는 함수를 풀기엔 조금 어려워 보입니다. x의 범위를 본다면 x= 3 root y부터 2까지 범위에 해당합니다. 이를 바꾸어 보면 x^3=y ~ x=2 까지 범위라는 것을 알 수 있습니다. y의 범위는 0부터 8까지인데 이를 그려보면
이런 영역에 해당하는 것을 알 수 있습니다. 그렇다면 dx dy를 dydx로 바꾸면 어떻게 될까요? 적분 안에 있는 내용은 변하지 않습니다. 그러나 dy가 먼저 오게 되므로 y의 범위 부터 적을 수 있게 됩니다. y= 0 ~ y=x^3이며 x의 범위는 0부터 2입니다.
이중적분을 이해한다면 나머지 다중적분은 쉽게 이해할 수 있습니다. 이중적분을 활용해서 입체도형의 부피나 겉넓이, 또는 평면의 면적을 쉽게 구할 수 있습니다. 그러나 이는 벡터미적분학의 내용이고 저희가 할 것은 전자기학이므로 이 부분은 넘어가고 다음엔 원기둥좌표계, 구좌표계에서의 적분 변형과 벡터의 회전 발산에 대해 이야기해보겠습니다.
푸키였습니다 좋은 하루 되세요!
마음에 드셨다면 공감 부탁드립니다
'전기전자 전공 분야 정리 > electro magnetism' 카테고리의 다른 글
| [electro magnetism] 02. 좌표계 변환 (0) | 2024.02.09 |
|---|
